kfujitoの徒然（ｂｙ浮沈子）

球冠の面積


昨日書いた記事は、実は厳密ではない。

（円の面積）
http://kfujito2.asablo.jp/blog/2012/05/01/6431530

厳密でないところは、いくつかあり、半径には島自体の半径を含めていないこと（ほぼ、「点」なので・・・）、円周率を小数点以下２桁で切り捨てていること、１海里１８５２ｍを厳密にｋｍに換算していないこと、地球の表面積を円の面積として計算していること、などなど。

特に、球面の表面積を円の面積として計算しているというのは、いささかの落ち度があると言わざるを得ない。

調べてみると、こんなページが出ていた。

（球面上の円の面積）
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/2013554.html

（球帯と球冠：証明はこっちの方が綺麗だ）
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/area/sphere.htm

証明のところは端折ってしまって、結論だけいうと、２００海里が弧にあたり、面積を求める元になる長さが、弦に当たる。この弦の長さを半径とする円の面積が、球面の一部（球冠：「きゅうかん」というらしい）の面積になるのだ。

（海里）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B5%B7%E9%87%8C

元々、海里の定義は地球の大円の中心角１分（１度の６０分の１）に当たる弧の長さである（正確には、１８５２ｍちょうど）。したがって、２００海里は中心角２００分（３．３３３３・・・・度）ということになる。

さて困った。

弦の長さは２×半径×sin（中心角の半分）でいいのだが、三角関数表を見ても、こんな中途半端な角度は出ていない。

手元の電卓をたたくと、何やらわけの分からない答えが出てくる。なんだ、こりゃ？。

（ラジアン）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%82%B8%E3%82%A2%E3%83%B3

昔やったような記憶があるでしょ？。

そうなんです、電卓の三角関数の引数はラジアンだったのです（１８０度はπラジアンと覚えていました）。だから、電卓上での計算では、以下になる。

弦の長さ＝２×半径×sin（π÷１８０×３．３３３３・・・・÷２）

ここでは、地球を真球としているが、厳密には回転楕円体に近く、また、正確には、ジオイドとかもあって、洋ナシ形などと言われているが、キリがないので真球と看做し、半径は海里の元の定義から逆算し、大円の全周を２πで割った６３６６．７０７０２ｋｍとする。

これを、手元の関数電卓で計算すると、３７０．３４７７６６ｋｍとなる。

２００海里の正確な長さは、２００×１．８５２で３７０．４ｋｍジャストなので、５２メートル２３センチ４ミリ短くなる（地球は丸かった！）。

この差は大きい。面積にすると、普通に半径２００海里の円として計算した４３１０１４．４４８平方キロメートルと、地球の球面の一部（球冠）の面積として計算した４３０８９２．８９３平方キロメートルとなり、１２１．５５５平方キロメートルも狭くなるのだ（というより、こちらが正しい）。

この面積の差は、東京ドーム２６００個分に当たる。

端数処理とかは適当である（電卓なので）。

本日は、ちょっとカルトな記事になってしまったが、ＥＥＺの問題のビミョーな側面に光を当ててみた、ということで、この辺でおしまい。