kfujitoの徒然（ｂｙ浮沈子）

微分・積分


普段、絶対使わない微分や積分。

「微」笑みたい気「分」や、不満が鬱「積」した気「分」には、しょっちゅうなるんだがな。

（論説文で使われる「微分」、「積分」はどういう意味？）
http://okwave.jp/qa/q6440316.html

「「微分積分」とは、「微（すこ）し分る、分った積り」と言う学問である」（回答Ｎｏ．３より）

どうせなら、「微（すこ）しずつしか分らないけど、積みかさねればちゃんと分かる」とか、前向きなジョークにしてもらいたいな。

まあ、どうでもいいんですが。

地球楕円体の体積を求める方法が書かれている記事が、どうしても理解できない。

（地球の平均半径が6371kmというのは、どう算）
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1344288263

「長軸をx軸、短軸をy軸として
長軸半径を a ,短軸半径を b とすればその楕円の方程式は
x^2/a^2+y^2/b^2=1・・・①
となる。」

まあ、これについては、また別途調べよう。

「自転軸が縦軸なのでy軸の回りに回転させたものを採用する」

ここまではいい。

「ｙ軸に直角に切った面を考えると面積はπx^2 で上下対称なので
回転楕円体の体積=2∫πx^2dy [積分区間 y：0→b]・・・②」

つまり、赤道面に平行にスライスしたら、ピザパイのような円になるということだ（ちゃんとした円の面積の求め方は難しいので、またの機会に・・・）。

赤道で真っ二つにすれば、上半分か下半分を計算して、２倍すればいいということになる。

ここでは、上半分を計算して、２倍している（どっちでも、同じですが）。

「で①から
x^2=a^2(1-y^2/b^2)
を②に代入して計算すると②は
(4/3)π(a^2)b なる。」

定積分の計算なんだが、忘却の彼方だ。

忘れた。

長期記憶として、定着していない。

ここが分からないと、何となく騙されたような気になる。

悔しい・・・。

涙が出るほど、悔しい・・・。

（積分基礎４つの公式と定積分・不定積分の違いを即理解！）
http://juken-mikata.net/how-to/mathematics/sekibun-kiso.html

高校時代の教科書とか、手元には置いていないので、ネットに縋る。

定積分を行うには、不定積分を理解しないといけない。

「不定積分：
∫x^n dx = (1/(n+1))x^n+1+C（Cは積分定数）」

忘れてるが、何となく記憶が蘇って来る。

テストの点数が悪かったり、数学の時間が眠かったりした記憶だ。

あんまり、嬉しい記憶ではない。

寝てちゃダメだよ、寝てちゃ！。

ああ、思い出したくない・・・。

そういう記憶は、さっさと忘れてしまうに限るんだが、ついでに肝心の公式とかも忘れてしまう。

世の中、うまくはいかないのだ。

積分の対象となる関数が多項式だったり、定数が付いていたりする時は、定数を積分の外出しにして、個々の関数の積分に展開して計算できる。

「積分の性質②：
一般に、mとnを定数とすると
∫{mf(x)+ng(x)}dx=m∫f(x)dx+n∫g(x)dx」

分かったような、分からないような。

面積とか体積の問題として出されるのは、定積分というやつだ。

xの値を、ある範囲で変化させて、出力を求める。

「定積分：
f(x)の不定積分の１つをF(x)とするとき
∫f(x)dx[積分区間：a→b]=[F(x)][積分区間：a→b]=F(b)-F(a)
（aとbは実数）」

さて、ここまで理解できれば（！）、あとはシコシコ計算するだけ。

回転楕円体をスライスした円の面積を求めるには、①式を変形して、以下のようにしてやる。

x^2/a^2+y^2/b^2=1・・・①
↓（変形）
x^2=a^2(1-y^2/b^2)・・・①´

体積は、こいつを円の面積に代入して、そのピザパイを、赤道で真っ二つにぶった切った片側だけ積分して２倍すればいい。

回転楕円体の体積
=2∫πx^2dy [積分区間 y：0→b]・・・②
↓①´を代入
=2∫π{a^2(1-y^2/b^2)}dy[積分区間 y：0→b]
↓まずは、定数πを外出し
=2π∫{a^2(1-y^2/b^2)}dy[積分区間 y：0→b]
↓ひたすら展開
=2π∫{a^2-(a^2/b^2)y^2}dy[積分区間 y：0→b]
↓不定積分してF(y)を導出
=2π[(a^2)y-(a^2/b^2)*(y^3)/3][積分区間 y：0→b]
↓F(b)-F(0)を計算
=2π[{a^2*b-(a^2/b^2)*(b^3)/3}-{(a^2)*0-(a^2/b^2)*(0^3)/3}]
↓ひたすら計算
=2π{(a^2)b-(a^2/b^2)*(b^3)/3}
=2π{3(a^2)b-(a^2)b}/3
=(4/3)π(a^2)b

途中で、分数の計算を間違えて、紙に書き出して計算した。

やっぱ、冪乗記号だと見にくいし、約分とかもピンとこないしな。

通分も難しい。

小学生の頃、如何にサボっていたか・・・。

積分計算で回転楕円体の体積を導出したけど、真球だったらどうなるかを確認する。

球面の式は同じように書くと、長軸半径も短軸半径も同一なので、a=b=rとして、回転楕円体の式に入れる。

x^2/a^2+y^2/b^2=1・・・①（元式）
↓球に変身
x^2/r^2+y^2/r^2=1
↓整理すると・・・
r^2=x^2+y^2
↓ついでにもう一声
x^2=r^2-y^2

これを先ほどの②式を改変した式に代入する。

球体の体積=2∫πx^2dy [積分区間y：0→r]・・・②´
↓代入
=2∫π(r^2-y^2)dy [積分区間y：0→r]
↓まずは、定数πを外出し
=2π∫(r^2-y^2)dy [積分区間y：0→r]
↓不定積分してF(y)を導出
=2π[(r^2)y-(y^3)/3][積分区間y：0→r]
↓F(r)-F(0)を計算
=2π[{(r^2)r-(r^3)/3}-{(r^2)0-(0^3)/3}]
↓ひたすら計算
=2π{3r^3-(r^3)}/3
=(4/3)πr^3

まあ、当然ですが。

ついでに、微分のページも読んだ。

（導関数の公式と求め方がひと目でわかる！練習問題付き♪）
http://juken-mikata.net/how-to/mathematics/bibun-basic.html

「微分は入試にとって重要な分野なのです。」

ああ、遥かな昔の、これまた、思い出したくない思い出・・・。

練習問題は、パスだな。

それよりも、楕円について見てみよう。

（楕円）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%95%E5%86%86

「平面上のある2定点からの距離の和が一定となるような点の集合から作られる曲線である。基準となる2定点を焦点という。」

「楕円の内部に2焦点を通る直線を引くとき、これを長軸という。長軸の長さを長径という。長軸と楕円との交点では2焦点からの距離の差が最大となる。また、長軸の垂直二等分線を楕円の内部に引くとき、この線分を短軸という。短軸の長さを短径という。」

「長軸を中心で分けた2つの線分は半長軸と呼ばれ、その長さを長半径という。」

「短軸を中心で分けた2つの線分は半短軸と呼ばれ、その長さを短半径という。」

「楕円軌道: 惑星、衛星、人工衛星の軌道は楕円軌道を描く。」

ややっこしい話だ。

回転楕円体で近似される地球の周りを、人工衛星は楕円軌道に乗って回る。

それは、ジオイドをなぞるからではなくて、天体の運行としてそうなるんだというのだ。

（楕円軌道）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%95%E5%86%86%E8%BB%8C%E9%81%93

「天体の周回軌道はケプラーの第1法則により一般に楕円軌道をとる。」

確か、そう習った記憶もあったな。

（ケプラーの法則）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B1%E3%83%97%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87

「第3法則は、公転周期の長さは楕円軌道の長半径のみに依存して決まることを意味する。楕円軌道の離心率に依存しないので、楕円軌道の長半径が同じであれば、円運動でも楕円運動でも周期は同じになる。」

ほほう、そういうことがあるのか。

（軌道力学）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%BB%8C%E9%81%93%E5%8A%9B%E5%AD%A6

「天体力学の基本法則は、ニュートンの万有引力の法則とニュートンの運動の法則であり、ニュートンの開発した微分積分学がその計算のための重要な数学的ツールになる。」

やれやれ。

地球の半径の話から、地球楕円体の体積を求める話になって、積分を復習して軌道の話に戻ったら、なんと、またまた微分積分の話になった。

衛星の軌道の話は、もう少し調べてみるつもりだが、浮沈子の生身の脳は限界だ。

プシュー・・・、ボンッ！。